大阪市営交通の一日乗車券「エンジョイエコカード」は大晦日から元日朝に掛けての終夜運転にも対応している。
12月31日（大晦日）刻印のカードで元日始発までの終夜運転に乗車できるとのこと。
大阪市営地下鉄の駅員さんに確認しました。
リンク：大阪市交通局｜便利なカード乗車券
（2016.1.1 16:20追記）
通りすがりさんのコメントにもありましたが、12月31日の日付が入ったエンジョイエコは翌1月1日（元日）も使えます。
実際に試しました（笑）
バスは通りすがりさんの仰る通り、ダメなようです。
大阪市営地下鉄の駅員さんに確認しました。
リンク：大阪市交通局｜便利なカード乗車券
（2016.1.1 16:20追記）
通りすがりさんのコメントにもありましたが、12月31日の日付が入ったエンジョイエコは翌1月1日（元日）も使えます。
実際に試しました（笑）
バスは通りすがりさんの仰る通り、ダメなようです。
地下鉄は始発までではなく終日利用可能ですね。
バスは日付変更に対応してないのでダメでした。