大阪市営交通の一日乗車券「エンジョイエコカード」は大晦日から元日朝に掛けての終夜運転にも対応している。
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12月31日(大晦日)刻印のカードで元日始発までの終夜運転に乗車できるとのこと。

大阪市営地下鉄の駅員さんに確認しました。

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リンク:大阪市交通局|便利なカード乗車券

(2016.1.1 16:20追記)
通りすがりさんのコメントにもありましたが、12月31日の日付が入ったエンジョイエコは翌1月1日(元日)も使えます。

実際に試しました(笑)

バスは通りすがりさんの仰る通り、ダメなようです。